Задача

проныра, об чем речь, конечно, тем более я тоже не отгадал сразу * * чуть проще чем про шапку



Поначалу и в самом деле разбиваем на три кучки по 4 монеты.

Взвешиваем 4 и 4 монеты. Если равновесие, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда из этой кучки берём любые три и сравниваем их с тремя настоящими монетами. Если равновесие, то фальшивой является четвёртая, которую сравниваем с настоящей и при этом выявляем, легче она или тяжелее. Если равновесие нарушилось, то фальшивая среди этих трёх и при этом понятно, тяжелее она или легче настоящей. Для третьего взвешивания берём любые две монеты из этих трёх.



А вот если при самом первом взвешивании равновесие нарушилось, то тут посложнее.

Для удобства занумеруем монеты: 1, 2, 3, 4 – на первой чашке весов, 5, 6, 7, 8 – на второй, 9, 10, 11, 12 – оставшиеся монеты, которые, очевидно, настоящие.

Для определённости будем считать, что перетянула первая чашка (т.е. если фальшивая монета там, то она тяжелее настоящей, если на второй чашке, то легче).

Второе взвешивание: монеты 1, 2, 9 и 3, 4, 5 (в соответствии с указанной нумерацией). Монеты 6, 7, 8 пока откладываем. Тут три случая:

Равновесие. Тогда фальшивая монета среди отложенных 6, 7, 8. Сразу понятно, что она более лёгкая (выше для определённости было заявлено, что перетянула первая чашка весов). Третьим взвешиванием выявляем искомую монету.

Тяжелее кучка монет 1, 2, 9. Тогда взвесим монеты 1 и 2. Если равновесие, то фальшивая монета 5 (более лёгкая), если нет равновесия, то фальшивая та, которая тяжелее.

Тяжелее кучка монет 3, 4, 5. Тут очевидно, что более тяжёлая фальшивая монета “перекочевала” на другую чашку. Взвешиваем 3 и 4 и тем самым выявляем её.