Выехать за территорию РФ можете по доверенности от хозяина авто. Доверенность должна быть оформлена у нотариуса и в ней долны быть слова "с правом выезжать за пределы РФ".
Управлять ТС в Украине с Российскими номерами? Законов Украины не знаю. В России до 2005 года гражданам РФ управлять ТС другого гос-ва без хозяина было запрещено. С 2005 года можно оформить временный ввоз на срок не более 3-х месяцев с уплатой некоторого депозита. В каком размере, точно не знаю. Посмотрите тут:
Временный ввоз а/м
В страны ЕС ничего оформлять не надо. Авто на границе вводят в базу таможни и если она не выходит из ЕС через 3 месяца, ее ищут и полиция и таможня.
Не забудьте заполнить декларацию на границе на предмнт временного вывоза из РФ.