Поломка машины за рубежом
 

Если я временно вывез из Таможенного союза автомобиль и он сломался в поездке и находиться в ремонте, а сроки виз кончаются, можно ли без авто обратно въехать в ТС, а потом забрать его из ремонта, оформив новые визы

Можно. Но с ньюансами.
Через Брест никаких проблем - выезжал на авто/мото, возвращался самолетом и наоборот. А вот через Торфяновку граница прицепилась - где моя вывозная декларация (В Беларуси не требуется), дошли до начальника смены, который посмотрел выездной штампик (беларуский) и махнул рукой.